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CFA-MFR de Coutances

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Physique – Chimie

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Détails

  • 2 Sections
  • 4 Lessons
  • Durée de vie
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  • Décrire l’organisation et les transformations de la matière
    3
    • 2.0
      La matière
    • 2.1
      L’atome et ses constituants
    • 2.2
      La matière dans l’univers
  • Caractériser les mouvements et les interactions
    1
    • 3.0
      Caractériser un mouvement
      40 Minutes

Travaux dirigés : La croissance du bambou et les suites numériques

Voici un exemple très concret d’utilisation des suites numériques.

Un client souhaite installer une bambouseraie de 200m² en limite de son terrain. La variété de bambou choisie croît très vite en hauteur (2cm par jour la première année à partir de 60 jours après l’installation) et se multiplie aussi rapidement en surface (+15%/an). Les plants font 5cm de hauteur une fois installés.

Un client souhaite installer une bambouseraie de 200m² en limite de son terrain. La variété de bambou choisie croît très vite en hauteur (2cm par jour la première année à partir de 60 jours après l’installation) et se multiplie aussi rapidement en surface (+15%/an). Les plants font 5cm de hauteur une fois installés.

Première question

Le client souhaite savoir quelle taille auront atteint les bambous au bout de 6 mois (on considèrera 6 mois = 180 jours) ?

Deuxième question

Afin de limiter l’investissement initial en plants, le client estime qu’il peut attendre 5 ans avant que la totalité de la surface de la bambouseraie soit couverte. Quelle est la surface initiale à planter ?

Afin de répondre aux questions, vous disposez de votre cours sur les suites numériques.

Voir la correction

Première question

Dans sa croissance, le bambou gagne 2cm chaque jour en démarrant à 5cm. Cela fait donc :

  • 5 + 2 = 7 cm le premier jour,
  • 7 + 2 = 9 cm le deuxième jour,
  • 9 + 2 = 11 cm le troisième jour,
  • etc.

La pousse ne commençant qu’à partir du 60e jour, on cherche à savoir la hauteur de totale au bout de 180 jours – 60 jours = 120 jours.

La croissance du bambou peut donc s’exprimer comme une suite arithmétique de premier terme 5 (hauteur du plant) et de raison 2 (croissance journalière).

On applique donc la formule de calcul pour le 120ème élément de la suite, soit 2cm de pousse par jour pendant 120 jours auquel on ajoute la hauteur initiale du plant :

u120 = 2 x 120 + 5 = 245cm

Les bambous vont donc mesurer 2,45m au bout de 6 mois.

Deuxième question

La surface de bambou croît de 15% chaque année. Nous cherchons à déterminer la S0 à planter initialement pour que le bambou couvre 200m² au bout de cinq années de pousse.

  • En fin de première année, le bambou couvrira une surface S1 = S0 + 15 / 100 x S0 = 1,15 x S0
  • En fin de deuxième année, le bambou couvrira une surface S2 = S1 + 15 / 100 x S1 = 1,15 x S1
  • Et ainsi de suite…

L’extension de la surface de bambou peut donc s’exprimer comme une suite géométrique de raison 1,15. On souhaite que la surface soit de 200m² en cinquième année et on recherche le terme initial de la suite. Par la formule de calcul du cinquième élément de la suite, nous avons donc :

S5 = S0 x 1,155 = 200 m²

Etant donné que 1,155 ≈ 2

et donc S0 ≈ 200 / 2 = 100 m²

On plantera donc une surface de 100m² pour que l’intégralité des 200m² soient couverts au bout de 5 ans.

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