Léo place un capital initial C₀ = 3 000 € à un taux annuel t = 6%. Les intérêts i étants simples, c’est-à-dire que le capital d’une année est égal à celui de l’année précédente augmenté de 6% du capital initial.

On note C_n le capital de Léo au bout de n années. Le capital est exprimé en euros.

1- Montrer que, pour tout entier naturel n, C_n+1 = C_n + 180. Qu’en déduit t-on ?

éléments de réponse :

Calcul des intérêts : i = 3 000 x 6 / 100, d’où i = 180 €

Ainsi, nous pouvons écrire C_n+1 = C_n + 180

Nous pouvons en déduire que le placement est une suite arithmétique de raison r = 180 et de premier terme C₀ = 3 000

2- Exprimer C_n en fonction de n

Selon la relation C_n+1 = C_n + 180 , nous pouvons également écrire C_n = C₀ + 180 x n

3- De quel capital Léo dispose-t-il au bout de 10 ans ?

éléments de réponse :

Application numérique de la suite arithmétique C_n = C₀ + 180 x n, avec n = 10, soit C₁₀ = 3 000 + 180 x 10, d’où C₁₀ = 4800 €

4- Au bout de combien d’années le capital a-t-il doublé ?

éléments de réponses :

Résoudre l’équation C_n = 2 C₀, soit 3 000 + 180 n = 2 x 3 000, soit n = 3 000 / 180, soit n = 17 ans

Le capital de Léo aura doublé au bout de 17 ans.

5- Au bout de combien d’année le capital dépasse les 10 000 € ?

éléments de réponses :

Résoudre l’équation C_n = 10 000, soit 3000 + 180 n = 10 000, soit 180 n = 10 000 – 3 000, soit n = 7 000 / 180, soit n = 39 ans

Le capital de Léo aura atteint 10 000 € au bout de 39 ans.