Première question

Dans sa croissance, le bambou gagne 2cm chaque jour en démarrant à 5cm. Cela fait donc :

• 5 + 2 = 7 cm le premier jour,
• 7 + 2 = 9 cm le deuxième jour,
• 9 + 2 = 11 cm le troisième jour,
• etc.

La pousse ne commençant qu’à partir du 60e jour, on cherche à savoir la hauteur de totale au bout de 180 jours – 60 jours = 120 jours.

La croissance du bambou peut donc s’exprimer comme une suite arithmétique de premier terme 5 (hauteur du plant) et de raison 2 (croissance journalière).

On applique donc la formule de calcul pour le 120ème élément de la suite, soit 2cm de pousse par jour pendant 120 jours auquel on ajoute la hauteur initiale du plant :

u₁₂₀ = 2 x 120 + 5 = 245cm

Les bambous vont donc mesurer 2,45m au bout de 6 mois.

Deuxième question

La surface de bambou croît de 15% chaque année. Nous cherchons à déterminer la S₀ à planter initialement pour que le bambou couvre 200m² au bout de cinq années de pousse.

• En fin de première année, le bambou couvrira une surface S₁ = S₀ + 15 / 100 x S₀ = 1,15 x S₀
• En fin de deuxième année, le bambou couvrira une surface S₂ = S₁ + 15 / 100 x S₁ = 1,15 x S₁
• Et ainsi de suite…

L’extension de la surface de bambou peut donc s’exprimer comme une suite géométrique de raison 1,15. On souhaite que la surface soit de 200m² en cinquième année et on recherche le terme initial de la suite. Par la formule de calcul du cinquième élément de la suite, nous avons donc :

S₅ = S₀ x 1,15⁵ = 200 m²

Etant donné que 1,15⁵ ≈ 2

et donc S₀ ≈ 200 / 2 = 100 m²

On plantera donc une surface de 100m² pour que l’intégralité des 200m² soient couverts au bout de 5 ans.