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CFA-MFR de Coutances

UNE ECOLE, DES STAGES, UN METIER !

IENT

RNE – UAI : 0501736R | Numéro de déclaration d’activité : 25 50 0087550 | SIRET : 780 878 542 000 15

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Détails

  • 12 Sections
  • 39 Lessons
  • Durée de vie
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  • Statistiques à une variable
    5
    • 2.0
      Mémo
    • 2.1
      Extrait notice calculatrice CASIO Graph 25+
    • 2.2
      Travaux dirigés : Extraits de sujets d’examen N°1
    • 2.3
      Travaux dirigés : Extraits de sujets d’examen N°2
    • 2.4
      Evaluations statistiques + corrigés
  • Probabilités
    3
    • 3.1
      Situations relevant d’une loi normale
    • 3.2
      Règle du produit, règle de la somme en probabilité
    • 3.4
      Travaux dirigés : Extraits de sujet d’examen
  • Suites numériques
    5
    • 4.0
      Les notions de base : suites arithmétiques et suites géométriques
    • 4.1
      Travaux dirigés : La croissance du bambou et les suites numériques
    • 4.2
      Exercices + corrigés
    • 4.3
      Exercice d’application + correction
    • 4.4
      Travaux dirigés : Extraits de sujet d’examen + correction + programmation calculatrice
  • Problèmes de second degré
    3
    • 5.1
      Etude de la variation d’une fonction de second degré
    • 5.3
      TD : Initiation au langage BASIC sur la calculatrice CASIO
    • 5.4
      TD : Initiation au langage PYTHON sur ordinateur
  • Tangente à une courbe
    4
    • 6.1
      Activité : virage de nuit
    • 6.2
      Activité : Un problème d’échelle
    • 6.3
      Activité : zoom-zoom
    • 6.4
      Travaux dirigés : Extraits de sujet d’examen
  • Fonctions dérivées
    4
    • 7.1
      Activité : Superficie d’une fenêtre
    • 7.2
      Activité : Convoyeur
    • 7.3
      Activité : Optimisation de bénéfices
    • 7.4
      Travaux dirigés : Extraits de sujet d’examen
  • Etude de fonctions
    4
    • 8.1
      Activité : Enclos pour compostage
    • 8.2
      Activité : Bassin aquatique
    • 8.3
      Activité : Cerf-volant
    • 8.4
      Travaux dirigés : Extraits de sujet d’examen
  • Tableau de contingence
    4
    • 9.1
      Activité : L’usage des TIC dans les entreprises
    • 9.2
      Activité : Observations et surveillance des troupeaux
    • 9.3
      Activité : Saison touristique
    • 9.4
      Travaux dirigés : Extraits de sujet d’examen
  • Probabilités conditionnelles
    4
    • 10.1
      Activité : Répartition des élèves dans un établissement scolaire
    • 10.2
      Activité : Mâles et femelles dans un troupeau
    • 10.3
      Activité : Rendement agricole et conditions climatiques
    • 10.4
      Travaux dirigés : Extraits de sujet d’examen
  • Fonction exponentielle (e^x)
    1
    • 11.4
      Travaux dirigés : Extraits de sujet d’examen
  • Fonction Logarithme népérien (ln x)
    1
    • 12.4
      Travaux dirigés : Extraits de sujet d’examen
  • Primitives - Calcul intégral
    1
    • 13.4
      Travaux dirigés : Extraits de sujet d’examen

Intervalle de fluctuation avec la loi binomiale

Introduction

On définit un échantillon de taille n par la répétition de n épreuves indépendantes d’une même expérience aléatoire à deux issues notées 0 et 1 (épreuve dite de Bernoulli).
La fluctuation d’échantillonnage (phénomène naturel fréquent) invite à se poser la question de la confiance envers les résultats trouvés.

Il est admis : « pour des échantillons de taille n ≥ 25 et de proportion p du caractère comprise entre 0,2 et 0,8 : si f désigne la fréquence du caractère dans l’échantillon, f appartient à l’intervalle avec une probabilité d’au moins 0,95. 

Cet intervalle est nommé intervalle de fluctuation au seuil de 95 %».

Exercice 1 : Election présidentielle et intervalle de fluctuation

Entre les deux tours d’une élection présidentielle, il ne reste que deux candidats A et B en lice. Lors d’un débat télévisé, A affirme sur la foi d’un sondage secret que si l’élection avait lieu maintenant, il gagnerait largement avec 60% des voix. Avant la fin du débat, B fait effectuer un sondage par téléphone auprès de 200 personnes en âge de voter. Le résultat donne 104 personnes en faveur de A.
1) En supposant que le sondage secret reflète fidèlement l’opinion des électeurs le jour du débat, donner l’intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence des personnes favorables à A sur un échantillon de 200 pesonnes.
2) Que peut-on dire suite au résultat du sondage demandé par B ?
3) Reprendre les deux questions avec un intervalle de fluctuation au seuil de 98%.

ELEMENTS DE REPONSE

1- Intervalle de fluctuation à 95%

Selon le candidat A, 60% voteraient pour lui, soit p=60% ou encore p=0,6. Le sondage porte sur n=200 personnes. Appliquer la relation ci-dessous pour déterminer l’intervalle de fluctuation In.

Déterminons la valeur de u⍺ avec la calculatrice CASIO pour appliquer la formule de l’intervalle de fluctuation au seuil de 1-⍺ (cas général)

Pour un seuil à 95%, nous avons 1-⍺ = 0,95 d’où ⍺ = 0,05

Au seuil de 95% : (1-0,95)/2 = 0,025 donc on cherche a et b tels que P(X ≤ a) > 0,025 et P(X≤ b) ≥ 0,975 pour déterminer l’intervalle de fluctuation I = [a/n ; b/n]

Appliquons la valeur de u⍺ dans la formule de l’intervalle de fluctuation avec la calculatrice CASIO, à 10-2 près

CONCLURE :

P(X ≤ 106) > 0,025 et P(X≤ 134)= 0,975

L’intervalle de fluctuation à 95% est donc I [0,53 ; 0,67]

2- Interprétation du résultat du sondage commandé par le candidat B

104 personnes par rapport aux 200 interrogées représentent une fréquence de f = 104/200 soit f= 0,52

CONCLURE : Cette fréquence f n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation I [0,53 ; 0,67] donc on peut rejeter l’hypothèse que le candidat A dit vrai, avec un risque de 5% de rejeter cette hypothèse à tort.

3- Intervalle de fluctuation au seuil de 98%

Pour réduire le risque de rejeter à tort une hypothèse, nous pouvons passer d’un seuil de risque de 5% à un seuil de risque de 2%. Pour celà, il faut redéfinir l’intervalle de fluctuation non plus à 95%, mais à 98%.

Déterminons la valeur de u⍺ avec la calculatrice CASIO pour appliquer la formule de l’intervalle de fluctuation au seuil de 1-⍺ (cas général)

Pour un seuil à 98%, nous avons 1-⍺= 0,98 d’où ⍺=0,02

Au seuil de 98% : (1-0,98)/2 = 0,01 donc on cherche a et b tels que P(X ≤ a) > 0,01 et P(X≤ b) ≥ 0,99 pour déterminer l’intervalle de fluctuation I = [a/n ; b/n]

Appliquons la valeur de u⍺ dans la formule de l’intervalle de fluctuation avec la calculatrice CASIO, à 10-2 près

soit I [0,52 ; 0,68]. La valeur de a est 0,52 x 200 soit a = 104 et la valeur de b est 0,68 x 200 soit b = 136

CONCLURE :

P(X ≤ 104) > 0,01 et P(X≤ 136) ≥ 0,99

L’intervalle de fluctuation à 95% est donc I [0,52 ; 0,68]

104 personnes par rapport aux 200 interrogées représentent une fréquence de f = 104/200 soit f= 0,52

CONCLURE : Cette fréquence f appartient à l’intervalle de fluctuation I [0,52 ; 0,68] donc on peut accepter l’hypothèse que le candidat A dit vrai, avec un risque de 2% d’accepter cette hypothèse à tort.

Programmation calculatrice CASIO

Télécharger le fichier ALGO2 sur votre PC. Connecter votre calculatrice CASIO avec un cable USB, choisir mode de connexion “clé USB” en appuyant sur [F1]. Décharger votre fichier “ALGO2.g1m” dans votre calculatrice / répertoire “@MainMem” / “PROGRAM“

ALGO2Télécharger

Pour résoudre automatiquement les questions, saisir les paramètres suivants. Les résultats sont plus précis car il n’y a pas d’arrondi dans les calculs intermédiaires.

N = 200 ; P = 0,6 ; Seuil de confiance = 0,975 ; résultats pour P(X ≤ a) > 0,025: a = 106 ; et P(X≤ b) ≥ 0,975 : b = 133

N = 200 ; P = 0,6 ; Seuil de confiance = 0,99 ; résultats P(X ≤ a) > 0,01: a = 104 ; et P(X≤ b) ≥ 0,99 ; b = 136

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