Mathématiques
Fonction polynomiale de degré 2
1. Introduction
Soit la fonction f(x) = x2 + x – 2 sur l’intervalle [-3 ; 2]. Remplir le tableau de valeurs suivant puis tracer la représentation graphique de f(x) sur cet intervalle.
x | -3 | -2 | -1 | -0,5 | 0 | 1 | 2 |
f(x) | 4 | 0 | -2 | -2,25 | -2 | 0 | 4 |
Indiquer les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0.
Pour x = -2 et x = 1.
L’équation du second degré –x2 + x – 2 = 0 a donc 2 solutions.
x1 = -2 x2 = 1 S = {-2 ;1}
On appelle discriminant du trinôme ax 2 + bx + c , le nombre réel, noté Δ, égal à b2 − 4ac
Application avec a=1 ; b=1 ; c=-2
Δ =1² – 4.1.(-2) = 9, d’où racine carrée de Δ = 3
d’où x1=(-1-3) / (2 . 1), d’où x1 = -2
et x2 = (-1+3) / (2 . 1), d’où x2 = 1
2. La dérivation d’une fonction de second degré.
le principe pour passer d’une fonction de second degré à une fonction de premier degré est la suivante :
2nd degré : y = a.x² + b.x + c peut également s’écrire y=a.x² + b.x1 + c.x0
rappels : un nombre à la puissance 1 est lui même, c’est-à-dire x1 = x
rappel : un nombre à la puissance 0 est toujours égal à 1, c’est-à-dire x0 = 1
Pour passer au 1er degré, il suffit de multiplier le terme par l’exposant comme ci-dessous, puis de baisser un cran l’exposant
y’= 2.a.x (2-1) + 1.b.x(1-1) + 0.c.x(0-1)
ce qui donne, y’=2.a.x1 + b.x0 + 0
soit y’=2.a.x + b, c’est une fonction affine
Sachant cela, vous pouvez directement appliquer la dernière relation (y’=2ax+b) pour dériver une fonction de second degré (y=ax²+bx+c).
Soit la fonction f(x) = 3x2 – 2x +6 sur l’intervalle [-2 ; 3].
A l’aide du logiciel Géogébra, tracer la fonction : https://www.geogebra.org/m/gBH4Dya4
Exercice
Soit la fonction f(x)=-5x²+10x+15 sur l’intervalle [-1 ; 3]. Déterminer sa fonction dérivée f ‘ (x)
- Dérivation
y’= 2.(-5).x + 10, soit y’ = -10x+10
2.Tableau de variation
Calculer aux bornes f(-1) et f(3). Résultats attendus f(-1)=0 et f(3)=0
Calculer l’extremum f(-b/(2a)) = f(1). Résultat attendu f(1)=20
Dresser le tableau de variation
3. Déterminer les solution de l’équation de second degré