Mathématiques
Exemples d’activités
Exercice 1
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 0,95.
Construire l’arbre pondéré correspondant
Déduire la valeur pour P(X=1)
Dans ce cas, si k est un entier compris entre 0 et n alors : la probabilité d’obtenir k succès est
k succès = nombre de chemins à k succès × probabilité de succès k × probabilité d’échecn−k
Autrement dit, P(X=k)=k×pk×(1−p)n−k . On peut déterminer cette valeur avec la calculatrice.
On compte 3 chemins contenant exactement 1 succès : k=3
La probabilité d’un “succès” est p=0,95 et la probabilité d’un évènement contraire “échec” est q = 1-p = 0,05
Ainsi : P (X = 1) = 3 × 0,953 × 0,052 ≈ 0,006.
Exercice 2
Dans chacun des cas, déterminer si la variable aléatoire X suite une loi binomiale, et le cas échéant, préciser les paramètres de celle-ci.
• On lance quatre fois une pièce équilibrée. On note X la variable aléatoire égale à 1 si la même face est apparue 4 fois et à 0 sinon.
Réponse : Oui, le nombre de répétition avec “succès” est k=1 et la probabilité de l’événement “succès” est p=1/16, (4 lancés x même face apparue 4 fois = 16)
• On prélève trois pièces, sans remise, dans un lot de 100 000 pièces contenant 1 000 pièces défectueuses.
La variable aléatoire X compte le nombre de pièces défectueuses.
Réponse : Non, car le tirage est sans remise et la probabilité change donc à chaque tirage. On ne répète pas la même épreuve de Bernoulli.
• Dans une urne contenant sept boules numérotées 0, et quatres boules numérotées 1, on prélève avec remise trois boules. La variable aléatoire X est égale à la somme des nombres inscrits sur les boules prélevées.
Réponse : Oui, ici la somme des nombres inscrits correspondra au nombre de boules numérotées “1” tirées.
Le nombre de répétition avec “succès” est k=3 et la probabilité de l’événement “succès” est p=4/11, (7 boules numérotées “0” + 4 boules numérotées “1” = 11 boules)