ASSR2 – session 2022

Exercice 1

Les nombres suivants sont-ils en progression arithmétique ?

2 364 510 ; 3 475 621 ; 4 586 732

réponse : Calculer la différence entre chaque nombre. Si le résultat est identique, cela signifie que vous mettez en évidence la valeur de la raison r. Sil tel est le cas, alors la progression sera arithmétique.

4 586 732 – 3 475 621 = 1 111 111

3 475 621 – 2 364 510 = 1 111 111

la progression est arithmétique avec la raison r = 1 111 111

Exercice 2

(u_n) est une suite arithmétique de raison r.

1- On sait que u₀=2 et la raison r = -3. Calculer u₁₀, u₂₀,u₁₀₀

réponse : Appliquer la formule générale u_n = u₀ + n . r avec les valeurs proposées.

D’où, u₁₀ = 2 + 10 x (-3) = -28

D’où, u₂₀ = 2 + 20 x (-3) = -58

D’où, u₁₀₀ = 2 + 100 x (-3) = -298

2- On sait que u₀ = 2 et u₁ = 5. Calculer la raison r, puis calculer u₂ et u₅

réponse : soustraire le terme suivant (u₁) avec le terme précédant (u₀) pour déterminer la progression, correspondant à la valeur de la raison r.

u₁ – u₀ = 5 – 2 = 3. La valeur de r est 3.

D’où, u₂ = 2 + 2 x 3 = 8

D’où, u₅ = 2 + 5 x 3 = 17

3- On sait que u₀ = 2 et u₂ = 10. Calculer la raison r, puis calculer u₁ et u₅

réponse : Appliquer la formule générale u_n = u₀ + n . r avec les valeurs proposées pour en déduire la raison r.

u₂ = 2 + 2 x r = 10, soit 2 x r = 10 – 2, soit 2 x r = 8, soit r = 8 / 2, soit r = 4

D’où, u₁ = 2 + 1 x 4 = 6

D’où, u₅ = 2 + 5 x 4 = 22

4- On sait que u₁ = 10 et u₁₀ = 28. Calculer la raison r, puis calculer u₀ et u₅

réponse : u₁₀ = u₁ + (10-1) x r ; on détermine alors par le calcul r = 2.

or, u_n = u₁ + (n-1) x r ; d’où u_n = 10 x (n-1) x 2 soit u_n = 2 n + 8

d’où u₀ = 8 et u₅ = 18

5- – On sait que u₅ = 17 et u₁₀ = 12. Calculer la raison r, puis calculer u₀ et u₁

réponse : u₁₀ = u₅ + (10-5) x r ; on détermine alors par le calcul r = -1

or, u_n = u₅ + (n-5) x r =17; d’où u_n = 22 – n

d’où u₀ = 22 et u₁ = 21

6- On sait que u₂₀ = -52 et u₅₁ = -145. Expliciter u_n

réponse : u₅₁ = u₂₀ + (51-20) x r ; soit r = 1/31 x (u₅₁ – u₂₀) ; soit r = 1/31 x (-145 + 52) ; soit r = -3

Appliquer la formule générale u_n = u₂₀ + (n-20) x r ; soit u_n = -52 + (n-20) x (-3) ; soit u_n = -52 + 60 -3n ; soit u_n = 8 -3n

d’où, u₀ = 8 -3 x 0 ; soit u₀ = 8

9- Soit une suite arithmétique u, telle que u₂+u₃+u₄ = 15 ET u₆ = 20, calculer u₀.

réponse : Pour trouver la solution, il faut chercher à exprimer les deux égalités en fonction de u₂.

u₂+u₃+u₄ = 15 ; soit u₂ + (u₂+r) + (u₃ + r) = 15 ; soit u₂ + (u₂+r) + ( u₂+r + r) = 15 ; soit 3 u₂ + 3 r = 15 ; soit 3 (u₂ + r) = 15 ; soit u2 + r = 15 / 3 ; soit u₂ + r = 5

De même, u₆ = 20 ; soit u₆ : u₂ + 4 r = 20

Il suffit de résoudre le système d’équation à deux inconnues (ici u₂ et r) ; c’est-à-dire u₂ = 5 – r ; u6 : (5 – r) + 4 r = 20 ; soit 5 + 3 r = 20 ; soit 3 r = 20 – 5 ; soit r = 15 / 3 ; soit r = 5

u₆ : u₂ + 4 r = 20 ; soit u₂ + 4 x 5 = 20 ; soit u₂ = 0

Appliquer la formule générale u_n = u₂ + (n-2 ) x r = u₀ + n x r avec les valeurs déterminées.

soit 0 + (n – 2) x 5 = u₀ + n x 5 ; soit 5 n – 10 = u₀ + 5 n ; soit u₀ = – 10 + 5n / 5n ; soit u₀ = – 10