Calculer la différence entre chaque nombre. Si le résultat est identique, cela signifie que vous mettez en évidence la valeur de la raison r. Sil tel est le cas, alors la progression sera arithmétique.

4 586 732 – 3 475 621 = 1 111 111

3 475 621 – 2 364 510 = 1 111 111

la progression est arithmétique avec la raison r = 1 111 111

Appliquer la formule générale u_n = u₀ + n . r avec les valeurs proposées.

D’où, u₁₀ = 2 + 10 x (-3) = -28

D’où, u₂₀ = 2 + 20 x (-3) = -58

D’où, u₁₀₀ = 2 + 100 x (-3) = -298

soustraire le terme suivant (u₁) avec le terme précédant (u₀) pour déterminer la progression, correspondant à la valeur de la raison r.

u₁ – u₀ = 5 – 2 = 3. La valeur de r est 3.

D’où, u₂ = 2 + 2 x 3 = 8

D’où, u₅ = 2 + 5 x 3 = 17

Appliquer la formule générale u_n = u₀ + n . r avec les valeurs proposées pour en déduire la raison r.

u₂ = 2 + 2 x r = 10, soit 2 x r = 10 – 2, soit 2 x r = 8, soit r = 8 / 2, soit r = 4

D’où, u₁ = 2 + 1 x 4 = 6

D’où, u₅ = 2 + 5 x 4 = 22

u₁₀ = u₁ + (10-1) x r ; on détermine alors par le calcul r = 2.

or, u_n = u₁ + (n-1) x r ; d’où u_n = 10 x (n-1) x 2 soit u_n = 2 n + 8

d’où u₀ = 8 et u₅ = 18

u₁₀ = u₅ + (10-5) x r ; on détermine alors par le calcul r = -1

or, u_n = u₅ + (n-5) x r =17; d’où u_n = 22 – n

d’où u₀ = 22 et u₁ = 21

u₅₁ = u₂₀ + (51-20) x r ; soit r = 1/31 x (u₅₁ – u₂₀) ; soit r = 1/31 x (-145 + 52) ; soit r = -3

Appliquer la formule générale u_n = u₂₀ + (n-20) x r ; soit u_n = -52 + (n-20) x (-3) ; soit u_n = -52 + 60 -3n ; soit u_n = 8 -3n

d’où, u₀ = 8 -3 x 0 ; soit u₀ = 8

Pour trouver la solution, il faut chercher à exprimer les deux égalités en fonction de u₂.

u₂+u₃+u₄ = 15 ; soit u₂ + (u₂+r) + (u₃ + r) = 15 ; soit u₂ + (u₂+r) + ( u₂+r + r) = 15 ; soit 3 u₂ + 3 r = 15 ; soit 3 (u₂ + r) = 15 ; soit u2 + r = 15 / 3 ; soit u₂ + r = 5

De même, u₆ = 20 ; soit u₆ : u₂ + 4 r = 20

Il suffit de résoudre le système d’équation à deux inconnues (ici u₂ et r) ; c’est-à-dire u₂ = 5 – r ; u6 : (5 – r) + 4 r = 20 ; soit 5 + 3 r = 20 ; soit 3 r = 20 – 5 ; soit r = 15 / 3 ; soit r = 5

u₆ : u₂ + 4 r = 20 ; soit u₂ + 4 x 5 = 20 ; soit u₂ = 0

Appliquer la formule générale u_n = u₂ + (n-2 ) x r = u₀ + n x r avec les valeurs déterminées.

soit 0 + (n – 2) x 5 = u₀ + n x 5 ; soit 5 n – 10 = u₀ + 5 n ; soit u₀ = – 10 + 5n / 5n ; soit u₀ = – 10