Fonction inverse

Etude de la fonction inverse : dérivée, tableau de variations, représentation graphique

Définition

Comme son nom l’indique, la fonction inverse associe à chaque nombre de son ensemble de définition une image qui correspond à l’inverse de ce nombre, elle est définie par la formule:
f(x) = 1 / x

Ensemble de définition

La division est possible par tout nomber réel sauf pour zéro qui est exclu de l’ensemble de définition de la fonction inverse. La fonction inverse est donc définie sur l’inervalle ]- ∞ ; 0[ U ]0 ; + ∞[ que l’on peut également noté R -{0} ou R*

Courbe représentative

La fonction inverse est représentée par une courbe appelée hyperbole qui est symétrique par rapport à l’origine du repère c’est à dire le point O de coordonées ( 0 ; 0 ). Cette symétrie implique que si un point (x₁ ; y₁) appartient à la courbe alors le point (-x₁ ; -y₁) lui appartient aussi. Les variations de la fonction sont plus importantes à proximité de l’origine, par conséquent son tableau de de valeurs doit comporter davantages de points dans cette zone.

Tableau de valeurs

Courbe représentative de la fonction inverse

Saisir la fonction dans le module « graphique » de votre calculatrice

Appuyer sur la touche « F1 » Trace

Fonction dérivée de la fonction inverse
La fonction inverse est dérivable sur chaque intervalle ]-∞; 0[et ]0 ; +∞[. La fonction inverse n’est pas dérivable en 0. La dérivée de la fonction inverse est la fonction f ‘ définie sur – { 0 } par :

Signe

La fonction inverse est négative sur chaque intervalle ]-∞; 0[et ]0 ; +∞[.

La fonction inverse est strictement décroissante sur chacun des intervalles où elle est définie.

Tableau de Variations

La fonction inverse est décroissante sur l’intervalle ]- ∞ ; 0[ puis sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ mais on ne peut pas considérer qu’elle est décroissante sur la totalité de son ensemble de définition en raison de la discontinuité qui existe entre les deux parties de ce dernier.

Exercice 1 : Application en électricité

ELEMENTS DE CORRECTION – Exercice 1

Question 1

Question 2

Question 3a

Pour résoudre cette question, il faut décomposer la fraction comme une somme d’un nombre réel entier et d’une fraction strictement inférieure à 1, avec A et B deux nombres réels entiers.