1. Définition

On appelle fonction carrée, la fonction f définie sur R par f(x) = x². Sa courbe représentative tracée ci-dessous est une parabole symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. la fonction carrée est paire

Un carré est toujours positif ou nul. Pour tout réel x, on a x² > 0.
— Un nombre et son opposé ont le même carré. Pour tout réel x, on a x² = (−x)² ce qui stipule bien que
la fonction carrée est paire.

Étude des variations de la fonction carrée sur R.

1. sur [0;+∞[ :
   Soient a et b deux réels de [0,+∞[ tels que a < b. On
   a f(a) − f(b) = a2 − b2 = (a − b)(a + b) qui est une
   quantité négative, donc on arrive à f(a) 6 f(b), ce
   qui assure que la fonction carrée est croissante sur
   [0,+∞[.
2. sur ] −∞; 0] :
   Soient a et b deux réels de [0,+∞[ tels que a < b. On a f(a) − f(b) = a² − b₂ = (a − b)(a + b) qui est une quantité positive ici, donc on arrive à f(a) > f(b),
   ce qui assure que la fonction carrée est décroissante
   sur ] −∞; 0].

Dressons ici le tableau de variations et de signe de la fonction
carrée :

2. Conséquences