Exercice 1

Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 0,95.

Construire l’arbre pondéré correspondant

Déduire la valeur pour P(X=1)

Dans ce cas, si k est un entier compris entre 0 et n alors : la probabilité d’obtenir k succès est
k succès = nombre de chemins à k succès × probabilité de succès ^k × probabilité d’échec^n−k

Autrement dit, P(X=k)=k×p^k×(1−p)^n−k . On peut déterminer cette valeur avec la calculatrice.

On compte 3 chemins contenant exactement 1 succès : k=3

La probabilité d’un « succès » est p=0,95 et la probabilité d’un évènement contraire « échec » est q = 1-p = 0,05

Ainsi : P (X = 1) = 3 × 0,95³ × 0,05² ≈ 0,006.

Exercice 2

Dans chacun des cas, déterminer si la variable aléatoire X suite une loi binomiale, et le cas échéant, préciser les paramètres de celle-ci.

• On lance quatre fois une pièce équilibrée. On note X la variable aléatoire égale à 1 si la même face est apparue 4 fois et à 0 sinon.

Réponse : Oui, le nombre de répétition avec « succès » est k=1 et la probabilité de l’événement « succès » est p=1/16, (4 lancés x même face apparue 4 fois = 16)

• On prélève trois pièces, sans remise, dans un lot de 100 000 pièces contenant 1 000 pièces défectueuses.
La variable aléatoire X compte le nombre de pièces défectueuses.

Réponse : Non, car le tirage est sans remise et la probabilité change donc à chaque tirage. On ne répète pas la même épreuve de Bernoulli.

• Dans une urne contenant sept boules numérotées 0, et quatres boules numérotées 1, on prélève avec remise trois boules. La variable aléatoire X est égale à la somme des nombres inscrits sur les boules prélevées.

Réponse : Oui, ici la somme des nombres inscrits correspondra au nombre de boules numérotées « 1 » tirées.

Le nombre de répétition avec « succès » est k=3 et la probabilité de l’événement « succès » est p=4/11, (7 boules numérotées « 0 » + 4 boules numérotées « 1 » = 11 boules)