Mathématiques
Détermination de l’intervalle de fluctuation à l’aide d’un algorithme
Pour la répétition de n ≥ 25 expériences identiques et indépendantes, avec pour chacune d’elle deux issues contraires : « succès » de probabilité p ∈ [1/6;5/6] ≃ [0,2 ; 0,8]
« échec » de probabilité q = 1 − p
soit X le nombre de succès à l’issue des n expériences, X suit une loi binomiale de paramètres n et p et
On cherche à obtenir à la calculatrice les valeurs a et b de l’intervalle I = [ a/n ; b/n] où
a est le plus petit entier tel que p(X ≤ a) > 0, 025
b est le plus petit entier tel que p(X ≤ b) ≥ 0, 975
quand on entre les valeurs n et p
Algorithme (description)
Début
//variables
l,m;s,x,n,p,a,b,z,t,
//Entrées
demander à l’utilisateur la valeur de n
demander à l’utilisateur la valeur de p
demander à l’utilisateur la valeur du seuil de confiance l
//Initialisations
affecter à m la valeur 1- l
affecter à s la valeur 0
affecter à k la valeur 0
affecter à a la valeur 0
affecter à b la valeur 0
affecter à z la valeur 0
affecter à t la valeur 0
//Traitements
Tant_que s < l
affecter à x la valeur Ckn pk (1-p)n-k
affecter à s la valeur s + x
affecter à k la valeur k + 1
Si s ≤ m
Alors
affecter à a la valeur k
affecter à z la valeur s
Fin_si
Fin Tant_que
affecter à b la valeur k-1
affecter à t la valeur s
//Sortie
afficher a
afficher b
Fin
Programme à réaliser pour calculatrice CASIO
« N » : ? → N↲
« P » : ? → P↲
« Seuil de confiance » : ?→L↲
1-L→M↲
0 → S↲
0 → K↲
0 → A↲
0 → B↲
0 → Z↲
0 → T↲
While S < L↲
NnCrK x P ∧ K x (1 − P) ∧ (N − K) → X↲
S + X → S↲
K + 1 → K↲
If S ≤ M↲
Then↲
K → A↲
S → Z↲
IfEnd↲
WhileEnd↲
K − 1 → B↲
S → T↲
« a »↲
A ◢
« b »↲
B ◢
TD : Utilisons la calculatrice CASIO (programmation langage basic)
Mémo pour trouver les fonctions dans la calculatrice CASIO
→ la touche se trouve au milieu à droite du clavier
? s’obtient en faisant [SHIFT] + [VARS] + [F4]
:
◢ s’obtient en faisant [SHIFT] + [VARS] + [F5]
relation (<,>,=…) s’obtient en faisant [SHIFT] + [VARS] + [F6] + [F3]
Pour saisir NnCrK : « alpha » + N, appuyer sur la touche [OPTN], choisir [PROB] ; choisir [nCr], puis taper « alpha » + K et EXE
Toujours avec la combinaison [SHIFT] + [VARS], dans l’onglet (COM) [F1], vous trouverez les fonctions ci-dessous. Au besoin, une fois dans l’onglet (COM), appuyez sur [F6] pour les trouver.
groupe 1 : instructions conditionnelles
If : Cette instruction définit la condition
Then : Définit les instructions à exécuter si la condition est vraie
Else : Facultatif, définit les instructions à exécuter si la condition est fausse
If End : Cette instruction met Fin à la condition
groupe 2 : instructions « compteur de boucle »
For : Cette instruction permet d’effectuer un compteur en boucle. On attribue une Valeur initiale à la Variable
To : Cette instruction marque le début d’une boucle de programme jusqu’à la Valeur finale
Step : Facultatif, cette instruction est utilisée pour configurer une variable de compteur, des nombres de début et de fin pour le comptage et l’incrémentation de pas. 1 par défaut.
Next : Cette instruction met Fin à la boucle
groupe 3 : instructions boucle « tant que »
While : Cette instruction permet d’effectuer une boucle « tant que ». La relation définit une condition obligeant un groupe d’instructions à s’exécuter de manière répétée jusqu’à ce que l’instruction WHILE détecte que la condition n’est plus vraie.
WhileEnd : Cette instruction est met fin à la boucle WHILE
groupe 4 : instructions boucle
Do : Débute la boucle pour exécuter les instructions tant que la condition est vraie
LpWhile : Définit la condition de la boucle
remarque : La différence entre un boucle « While/WhileEnd » et une boucle « Do/LpWhile » est que, si la condition est fausse depuis le début, une boucle « While/WhileEnd » ne fera aucune itération, tandis qu’une boucle « Do/LpWhile » en fera toujours au moins une.
Programme pour calculatrice CASIO
Télécharger le fichier ALGO2 sur votre PC. Connecter votre calculatrice CASIO avec un cable USB, choisir mode de connexion “clé USB” en appuyant sur [F1]. Décharger votre fichier “ALGO2.g1m” dans votre calculatrice / répertoire “@MainMem” / “PROGRAM“
Pour résoudre automatiquement les questions, saisir les paramètres suivants. Les résultats sont plus précis car il n’y a pas d’arrondi dans les calculs intermédiaires.
N = 30 ; P = 0,5 ; Seuil de confiance = 0,975
CONCLURE : résultats pour P(X ≤ a) > 0,025 : a = 10 et pour P(X≤ b) ≥ 0,975 : b = 20
L’intervalle I = [ a/n ; b/n] est I = [10/30 ; 20/30] ou enore I = [1/3;2/3]